Über die Konstitution des Elektrons (1906)/Anhang

by Walter Kaufmann

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Über die Konstitution des Elektrons  (1906)  by Walter Kaufmann Anhänge I-V

Anhang I.

Messungs- und Beobachtungsprotokolle.

I. Apparatdimensionen.

Folgendes sind die gefundenen Einstellungen: (Alle Zahlen bedeuten Zentimeter):

A1=8,5309 A2=8,5307 A3=8,5318	B1=6,5612 B2=6,5615 B3=6,5622	C1=4,2953 C2=4,2957 C3=4,2967	C4=4,2964 C5=4,2961
D1=6,0275 D2=6,0227 D3=6,0292	D4=6,0232 D5=6,0251 D6=6,0259

Dicke der planparallelen Glasplatte: 4 Einstellungen ergaben in genauer Übereinstimmung

4,2691 — 4,0081 = 0,2610.

Aus obigen Zahlen berechnet sich zunächst:

${\begin{cases}C_{0}=(C_{2}+C_{5})/2=4,2959\\\ =(C_{1}+C_{4})/2=4,29585\end{cases}}$ im Mittel: C₀=4,2959

Ferner

C₆ = C₀-(C₁-C₁) = 4,2951.

[537] Aus diesen Zahlen berechnet sich:

${\begin{cases}A-C&=A_{1}-(C_{1}+C_{5})/2=4,2349\\&A_{2}-(C_{2}+C_{6})/2=4,2353\\&A_{3}-(C_{3}+C_{6})/2=4,2359\end{cases}}$ im Mittel: A - C = 4,2351.

${\begin{cases}B-C&=B_{1}-(C_{1}+C_{6})/2=2,2660\\&B_{2}-(C_{2}+C_{4})/2=2,2655\\&B_{3}-(C_{3}+C_{5})/2=2,2658\end{cases}}$ im Mittel: B - C = 2,2658.

Somit

A' - B' = A - B = (A - C) - (B - C) = 1,9693

B' - C = (B - C) - d = 2,0048 .

Die Orientierung des Kondensators ist durch folgende Zahlen bestimmt:

Platte P2:	${\begin{cases}D_{1}-(C_{1}+C_{5})/2=1,7318\\D_{5}-(C_{3}+C_{6})/2=1,7292\\D_{2}-(C_{2}+C_{4})/2=1,7266\end{cases}}$	Differenz:0,0026 Differenz: 0,0026
Platte P1:	${\begin{cases}D_{3}-(C_{1}+C_{5})/2=1,7335\\D_{6}-(C_{3}+C_{6})/2=1,7300\\D_{4}-(C_{2}+C_{4})/2=1,7271\end{cases}}$	Differenz:0,0035 Differenz: 0,0029

Man sieht aus den angegeben Differenzen, daß die Oberkanten der Platten nicht ganz genau parallel C sind, sondern eine kleine Neigung haben. Ferner ist die Kante von P₁, wie aus der Ungleichheit der Differenzen hervorgeht, ein wenig konkav. Endlich weisen die Mitten beider Kanten eine Höhendifferenz von nicht ganz 1/1000 cm auf, das ist aber, da die Platten selbst (vgl. w. u.) eine Höhe von etwa 1,5 cm haben, ein Fehler von bloß 2/3 Promille bez. des "elektrischen Feldintegra1es" (vgl. w. u. p. 544 u. if.).

Für die Feldberechnung kommt nur die Lage der Kantenmitte in Betracht, also:

D — C = (1,7292 + 1,7300)/2 = 1,7296 .

Die Höhe der Platten längs der Mittellinie wurde bei Platte P₁ direkt gemessen; bei P₂ mußte wegen des Befestigungswinkels in gleichen Abständen links und rechts von der Mitte gemessen und das Mittel genommen werden. Es ergab sich:

Für P₁ : h₁ = 1,4835

Für P₂ : h₂ = (1,4845 + 1,4836)/2 = 1,4840.

Also im Mittel: h = (h₁ + h₂)/2= 1,4838 . [538]

Wegen des Einflusses der Kollimationsfehler wurde Kundtsche Kollimationsmethode angewandt; abwechselnd von unten und von oben her fokussiert. Beispiel einer einzelnen Messungereihe:

(Die Zahlen unter S sind die Ablesungen am Schlittenmikroskop in Zentimetern, die Zahlen unter O die an der Mikrometertrommel des Objektmikroskopes abgelesenen 1/1000 mm. Die römischen Ziffern bezeichnen die Ablesung an der Platte P₁ bez. P₂.)

Messungsreihe Nr. 28.

	I		II
	S 0,68398 96 89 90 94	O 29,0 29,2 30,0 29,0 29,0	S 0,56238 38 34 42 42	O 56,0 55,5 55,6 55,4 54,8
	0,68393 292	29,2	0,56239 555	55,5
	0,68101 0,55684		0,55684
d=	0,12517	Abstand der Platten (± 0,2 μ)

In gleicher Weise im ganzen 23 Messungen:

Nr.	d	Nr.	d	Nr.	d
7 8 9 10 11 12 13 14	0,12375 450 414 393 399 399 432 485	15 16 17 18 19 20 21 22	0,12506 482 466 435 444 482 436 490	24 25 26 27 28 29 30	0,12431 445 447 392 517 299 355

Im Mittel: d = 0,12434 cm ± 0,00011.

II. Relative Magnetfeldmessung. Messungen bezogen auf Höhe h, an der Skala des Meßapparates (Fig. 6) abgelesen. Probespule befindet sich in Höhe der Oberfläche des Ringes S am Vakuumgefäß (Fig. 2) bez. der Unterfläche des Ringes R' am Aufnahmeapparat, wenn h= 3,20 cm. Von dort bis zur Bodenfläche C des Aufnahmeapparates beträgt die Entfernung 2,11 cm; somit ist die von C aus gerechnete Höhe

x=2,11 + h - 3,20 = h - 1,09.

[539] Für die Umrechnung ist es bequemer, den Nullpunkt 0,09 cm unter C zu wählen, so daß x=h-1.

Beispiel einer Einzelmessung:

h=3,0 x=2,0.

Ausschlag:	479,0	478,5	478,5	483	484,5	484
Nullpunkt:	12,5	12,5	12,5	18	18	18
Differenz:	466,5	466	466	465	466,5	466

Im Mittel: 466,0.

In ähnlicher Weise sind alle übrigen Punkte gemessen. Die ganze Skala wurde hin und zurück durchmessen, um etwaige zeitliche Änderungen der Galvanometerempfindlichkeit zu eliminieren. Die letzten drei Messungen sind auf dem Rückwege gemacht; es hat sich nur der Nullpunkt allmählich etwas verschoben, die Empfindlichkeit ist dieselbe geblieben. Die Entfernung der Skala vom Spiegel betrug etwa 3m, Reduktion auf unendlich kleine Ablenkungen war wegen der, geringen Veränderlichkeit der Ausschläge unnötig.

IV. Absolute Magnetfeldmessung. Die Notwendigkeit, den ganzen Apparat auf der in Abt. I erwähnten Marmorplatte zu montieren (eine andere Möglichkeit zu genügend erschütterungsfreier Aufstellung war wegen der mangelhaftigen baulichen Verhältnisse des Institute nicht vorhanden), zwang zur Wahl einer Skalenentfernung von bloß 855 mm. Deshalb die viel kleineren Ausschläge. Außerdem war Schiefstellung der Skala nötig, so daß sorgfältige Reduktion auf unendlich kleine Ausschläge ausgeführt werden mußte.

Ich teile die Einzelmessungen im Feld der Stromspule mit:

Tabelle.

Reduz. Ausschl. N	Ampèremeter- ablesung A		Mittlerer Strom im Ampère	N/J
N	vor	nach	J=0,257 · A
	Kommutieren
-91,9 +90,9 -90,5 +90,6 -91,1 +89,7	128,5 128,0 126,3 127,0 126,0 125,5	128,5 127,2 126,3 126,0 126,0 125,0	33,02 32,80 32,47 32,52 32,37 32,17	-2,781 +2,768 -2,784 +2,786 -2,816 +2,786

Im Mittel: N/J= 2,787 ± 6,4 = 2,787 /middot; (1 ± 2,3/1000). [540]

V. Versuchsprotokolle.

Platte 10

Batteriespannung	zu Beginn	....	327,02 Volt
"	am Schluß	....	326,85 "
		Mittel:	326,93 Volt

Zeit		Isolation verliert 500 Volt in Sek.)	Bemerkungen
13. VI. 05	11h 20m Vorm. 11 35 " 12 50 Nachm.	75 - -	Zu pumpen begonnen Elektr. Feld angelegt Pumpe abgestellt
14. VI. 05	8 50 Vorm. 10 15 "	60 60	Elektr. Feld umgekehrt
15. VI. 05	9 0 "	20	Schluß

Unkorrigierte Apparatspannung: V = 4·2·326,93 = 2615 Volt.

Kurve etwas schwach, aber klar. Schichtriß durch Ende eines Kurvenastes.

Platte 11

Batteriespannung	zu Beginn	....	326,85 Volt
"	am Schluß	....	326,77 "
		Mittel:	326,81 Volt

Zeit		Isolation verliert 500 Volt in Sek.)	Bemerkungen
15. VI. 05	10h 15m Vorm. 11 0 " 12 30 Nachm. 2 45 " 4 15 "	110 - 10 17	Zu pumpen begonnen Elektr. Feld angelegt Pumpe abgestellt Seit 2h Gewitter Gewitter hat bis 3h 30m gedauert, Wetter klar, aber schwül
16. VI. 05	9 20 Vorm. 11 30 " 12 0 1 45 Nachm. 6 0	5 20 - 20 35	Gepumpt von 9h 20 m bis 9h 35m Elektr. Feld umgekehrt Schwül, nahendes Gewitter Gewiter
17. VI. 05	9 30 Vorm. 12 0	5 >250	Klar, aber noch schwül Sehr warm. Schluß

Unkorrigierte Apparatspannung: V= 4·2·326,81 = 2614,5 Volt.

Kurve kräftig, aber starker Schleier. [541]

Platte 12.

Batteriespannung	zu Beginn	....	326,77 Volt
"	am Schluß	....	326,75 "
		Mittel:	326,76 Volt

Zeit		Isolation verliert 500 Volt in Sek.)	Bemerkungen
17. VI. 05	5h 17m Nachm. 5 55 " 3 15	- 50 -	Zu pumpen begonnen Elektr. Feld angelegt Pumpe abgestellt
18. VI. 05	12 40 "	10	Elektr. Feld umgekehrt. Schwül, Gewitterschauern seit 17. VI. abends. Seit. 18. VI. 1h Nachm. zunehmende Aufklärung
19. VI. 05	9 45 Vorm. 12 15 Nachm.	150 >250	Elektr. Feld wieder umgekehrt, warmes trocknes Wetter Schluß

Unkorrigierte Apparatspannung: V = 5 · 2 · 326,70 = 3267 Volt.

Kurve wie bei Platte 11.

Platte 13.

Batteriespannung	zu Beginn	....	326,75 Volt
"	am Schluß	....	326,65 "
		Mittel:	326,70 Volt

Zeit		Isolation verliert 500 Volt in Sek.)	Bemerkungen
19. VI. 05	4h 20m Nachm. 4 55 " 6 15 "	- 60 -	Zu pumpen begonnen Elektr. Feld angelegt, Wetter kühl, trocken Pumpe abgestellt
20. VI. 05	9 10 Vorm. 10 30 " 11 25 " 12 0	12 20 45 -	Elektr. Feld umgekehrt
21. VI. 05	8 10 " 9 25 " 11 30 "	8 - -	Elektr. Feld nochmals umgekehrt Schluß

Unkorrigierte Apparatspannung: V= 5 · 2 · 326,70 = 3267 Volt

bei Kurve wie Platte 11 und 12. [542]

Platte 15.

In der Mitte geerdete Batterie direkt angelegt, also keine Isolationsverluste.

Batteriespannung	zu Beginn	....	326,35 Volt
"	am Schluß	....	326,25 "
		Mittel:	326,30 Volt

Zeit		Isolation verliert 500 Volt in Sek.)	Bemerkungen
25. VI. 05	10h 50m Vorm. 11 10 " 11 45 "	Zu pumpen begonnen Elektr. Feld angelegt Pumpe abgestellt
26. VI. 05	11 15 "	Elektr. Feld umgekehrt
27. Vi. 05	10 15 "	Schluß

Apparatspannung: V = 5 · 326,30 = 1631,5 Volt.

Platte etwas mehr verschleiert als die anderen.

VI. Kurvenmessungen. Als Beispiel sei das Messungsprotokoll der Platte 12 mitgeteilt. Zahlenangaben in Millimetern. Messung von z folgendermaßen: Zuerst Einstellung mittels z-Schraube auf unebgelenkten Fleck und zwar fünfmal (a). Denn Seitenverschiebung mittels y-Verschiebung, bis Marke zwischen zwei Striche der z-Skala fällt. Nächst niederer Strich der Skala sei z₁. Dann Einstellung mit z-Schraube auf z₁, Ablesung b fünfmal; dann ebenso Einstellung auf z₁-1, Ablesung c fünfmal.

z₁=0,1.

	a 59,2 58,4 59,1 58,5 58,7	b 63,2 62,5 63,3 63,6 62,7	c 53,7 53,8 54,1 53,9 54,2
Mittel:	58,8	63,1	53,9

Es ist:

z₀=z₁+0,1·(b-a)/b-c)=0,147 .

Dann Messung von y₁ und y₂ für willkürlich gewählte z. Es ist

z_b)z-z₀; y_b=(y₁-y₂/2.

[543]

z=1,500		z=2,000		z=2,500		z=3,000
y1	y2	y1	y2	y1	y2	y1	y2
15,332 43 30 37 15 27 28 31 36 40	14,790 90 89 85 91 84 88 91 803 780	15,465 68 62 72 71 72 68 70 67 66	14,676 81 85 69 75 77 84 69 90 88	15,579 608 583 593 578 610 597 597 588 601	14,540 23 46 30 37 31 35 37 3 32	15,738 43 38 49 37 51 59 65 50 53	14,372 64 73 68 69 76 73 81 81 74
15,332	14,789	14,468	14,679	15,593	14,535	15,748	14,373

z=3,500		z=4,000		z=4,500		z=5,000
y1	y2	y1	y2	y1	y2	y1	y2
15,901 17 21 27 14 24 04 19 21 17	14,194 94 95 5 93 83 93 88 91 80	16,096 103 090 104 101 114 102 123 105 122	14,010 13,996 14,022 13,990 14,011 13,984 14,005 14,000 14,008 14,003	16,316 20 07 18 18 21 28 33 23 25	13,791 781 799 778 805 787 803 784 811 811		13,564 70 65 61 71 64 52 77 67 65
15,917	14,191	16,106	14,003	16,321	13,795		13,566

Bei dem letzten Punkt ist y₁ nicht mehr meßber. y_b ist berechnet als Differenz zwischen y₂ und dem Mittelwert von y₀ = (y₁ + y₂)/2 für sämtliche Punkte.

Anhang II.

Berechnung der Feldintegrale.

I. Magnetisches Feldintegral. Für H war die empirische Gleichung gefunden (p. 513)

(1) H= 141,7 + 4,1x - 2,0 x² + 0,2 x³.

Daraus folgt unter Vernachlässigung der mit kleinen Zahlen multiplizierten Quadrate von x₀:

(2) ${\overset {x}{\underset {x_{0}}{\int }}}Hdx=141,7\cdot (x-x_{0})+2,05x^{2}-0,667x^{3}+0,05x^{4}$,

[544]

(3) ${\begin{cases}{\overset {x_{1}}{\underset {x_{0}}{\int }}}dx{\overset {x}{\underset {x_{0}}{\int }}}Hdx=70,85(x_{1}-x_{0})^{2}+0,683x_{1}^{3}-0,167x_{1}^{4}\\\qquad +0,01x_{1}^{5}=J_{1},\end{cases}}$

(4) ${\begin{cases}{\overset {x_{2}}{\underset {x_{0}}{\int }}}dx{\overset {x}{\underset {x_{0}}{\int }}}Hdx-70,85(x_{2}-x_{0})^{2}+0,683x_{2}^{3}-0,167x_{2}^{2}\\\qquad +0,01x_{2}^{5}=J_{2},\end{cases}}$

Hierbei ist x = 0 für einen 0,09 cm unter der Fläche C liegenden Punkt (vgl. p. 539).

Somit:

x₁ = 2,005 + 0,09 = 2,095,

x₂ = 2,005 + 1,969 + 0,09 = 4,064,

x₀= 0,09 + 0,011 = 0,101

(0,011 = Höhe der Strahlungsquelle vgl. p. 507). Daraus:

J₁ = 285,2,      J₂ = 1123,8

und

$\mathbf {M} =J_{2}-{\frac {x_{2}-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}\cdot J_{1}=\mathbf {557,1}$.

Berechnung des von ungenauer Orientierung im Felde herrührenden Fehlers.

Die Lagebeziehung der verschiebbaren Probespule zum Aufnahmeapparat ist nur auf etwa 0,5 mm genau bekannt. In den beiden Integralen ist das Hauptglied (x₁ - x₀)² von dieser Unsicherheit unabhängig. Eine Veränderung der Grenzen x₁ und x₂ um δx bewirkt also eine Veränderung:

$\delta J_{1}=\delta x\{3\cdot 0,683x_{1}^{2}-4\cdot 0,167x_{1}^{3}+5\cdot 0,01x_{1}^{4}\}=-1,8\delta x$

und ähnlich:

δJ₂ ... =+3,4δx.

Somit:

${\frac {\delta M}{\delta x}}=3,4+2\cdot 18=7$.

Einer Verschiebung um 0,5 mm entspricht also eine Änderung

δM=0,35=0,6 ‰.

II. Elektrisches Feldintegral. Wir legen der Bequemlichkeit halber den Koordinatenanfang in die Strahlungsquelle, indem wir von allen von C aus gemessenen x den Betrag 0,011 cm abziehen.

[545] Dann lautet das elektrische Feldintegral:

(1) $E=(x_{2}-x_{1})\left\{{\overset {x_{1}}{\underset {0}{\int }}}Fdx-{\frac {1}{x_{1}}}{\overset {x_{1}}{\underset {0}{\int }}}dx{\overset {x}{\underset {0}{\int }}}Fdx\right\}$.

Dabei ist dann:

x₂-x₁=1,969,

x₁=1,994.

Etwa 1 mm innerhalb des Plattenrandes ist das Feld praktisch konstant. Wir zerlegen deshalb die Strecke x₁ in drei Teile:

a vom Nullpunkt bis 1 mm hinter dem unteren Plattenrand,

c vom Endpunkte von a bis 1 mm vor dem oberen Plattenrand,

b vom Endpunkte von c bis zum Diaphragma.

Es ist also:

a=0,246+0,1-0,011 c=1,484-0,2 b=0,275+0,1	=0,335 =1,284 =0,375
a+c+b	=1,994=x1

Es ist:

(2) ${\begin{cases}{\overset {x}{\underset {0}{\int }}}Fdx={\overset {x}{\underset {0}{\int }}}Fdx\ \ fuer\ \ 0<x<a,\\={\overset {a}{\underset {0}{\int }}}Fdx+(x-a)\ \ fuer\ \ a<x<a+c,\\={\overset {a}{\underset {0}{\int }}}Fdx+c+{\overset {x}{\underset {a+c}{\int }}}Fdx\ \ fuer\ \ a+c<x<x_{1}.\end{cases}}$

Somit:

(3) ${\overset {x_{1}}{\underset {0}{\int }}}Fdx={\overset {a}{\underset {0}{\int }}}Fdx+{\overset {x_{1}}{\underset {a+c}{\int }}}Fdx+c$.

Es ist ferner in leicht verständlicher Abkürzung:

(4) ${\begin{cases}{\overset {x_{1}}{\underset {0}{\int }}}{\overset {x}{\underset {0}{\int }}}&={\overset {a}{\underset {0}{\int }}}{\overset {x}{\underset {0}{\int }}}+{\overset {a+c}{\underset {0}{\int }}}{\overset {x}{\underset {0}{\int }}}+{\overset {x_{1}}{\underset {a+c}{\int }}}{\overset {x}{\underset {0}{\int }}}\\&={\overset {a}{\underset {0}{\int }}}{\overset {x}{\underset {0}{\int }}}+c{\overset {a}{\underset {0}{\int }}}+{\frac {(a+c)^{2}}{2}}-{\frac {a^{2}}{2}}-ac+b{\overset {a}{\underset {0}{\int }}}+bc+{\overset {x_{1}}{\underset {a+c}{\int }}}{\overset {x}{\underset {a+c}{\int }}}.\end{cases}}$

[546] Führt man in dem letzten Doppelintegral die neue Variable

ξ = x₁ +x,

d. h. den Abstand vom Diaphragma ein, so wird

${\overset {x_{1}}{\underset {a+c}{\int }}}dx{\overset {x}{\underset {a+c}{\int }}}Fdx={\overset {0}{\underset {b}{\int }}}d\xi {\overset {\xi }{\underset {b}{\int }}}Fd\xi ={\overset {0}{\underset {b}{\int }}}{\overset {0}{\underset {b}{\int }}}+{\overset {0}{\underset {b}{\int }}}{\overset {\xi }{\underset {b}{\int }}}$

$=b\cdot {\overset {b}{\underset {0}{\int }}}Fd\xi -{\overset {b}{\underset {0}{\int }}}d\xi {\overset {\xi }{\underset {b}{\int }}}Fd\xi$.

Somit:

(5) ${\begin{cases}{\overset {x_{1}}{\underset {0}{\int }}}dx{\overset {x}{\underset {0}{\int }}}Fdx={\overset {a}{\underset {0}{\int }}}dx{\overset {x}{\underset {0}{\int }}}Fdx-{\overset {b}{\underset {0}{\int }}}d\xi {\overset {\xi }{\underset {0}{\int }}}Fd\xi +(b+c){\overset {a}{\underset {0}{\int }}}Fdx\\\qquad +b{\overset {b}{\underset {0}{\int }}}Fd\xi +{\frac {c^{2}}{2}}+bc,\end{cases}}$

und nach (3):

(6) ${\overset {x_{1}}{\underset {0}{\int }}}Fdx={\overset {a}{\underset {0}{\int }}}Fdx+{\overset {b}{\underset {0}{\int }}}Fd\xi +c$.

Setzt man (5) und (6) in (1) ein, so erhält man (für F= 1 im konstanten Bereich):

(7) ${\begin{cases}E_{1}=(x_{2}+x_{1})\{{\frac {c}{2}}+{\overset {b}{\underset {0}{\int }}}Fd\xi -{\frac {1}{x_{1}}}[{\frac {c}{2}}(b-a)-b{\overset {b}{\underset {0}{\int }}}Fd\xi \\\qquad -a{\overset {a}{\underset {0}{\int }}}Fdx-{\overset {b}{\underset {0}{\int }}}d\xi {\overset {\xi }{\underset {0}{\int }}}Fd\xi +{\overset {a}{\underset {0}{\int }}}dx{\overset {x}{\underset {0}{\int }}}Fdx]\}.\end{cases}}$

In diesem Ausdruck stellen die ersten beiden Glieder in der geschweiften Klammer denjenigen Wert von E₁/(x₂ - x₁) dar, der bei völlig symmetrischer Stellung der Kondensatorplatten zwischen Boden und Diaphragma und völligem Zusammenfallen der Strahlenquelle mit dem Boden eintreten würde; der mit 1/x₁ multiplizierte Ausdruck, der bei völlig symmetrischer Anordnung verschwindet, stellt die von der Unsymmetrie herrührende Korrektion dar.

[547] Die Integrale wurden graphisch ausgewertet. Es beträgt der Wert der ersten beiden Glieder ("Hauptglieder"):

${\frac {c}{2}}+{\overset {b}{\underset {0}{\int }}}Fd\xi =0,642+0,167=0,809$.

Dagegen betragen die Korrektionsglieder zusammen nur: 0,0141.

Somit wird das Feldintegral für ein Feld F=1 im homogenen Teil:

E₁ = 1,969 (0,809 — 0,0141) = 1,565 ,

das Korrektionsglied beträgt also bloß 1,7 Proz.; selbst wenn man nun die beiderseitigen Integrale und Doppelintegrale als gleich ansehen und nur den Abstand des Radiumschwerpunktes vom Boden berücksichtigen würde, so würde das Korrektionsglied lauten:

${\frac {b-a}{x_{1}}}\left[{\frac {c}{2}}+{\overset {b}{\underset {0}{\int }}}Fd\xi \right]=0,809\cdot {\frac {0,04}{1,994}}=2\ Proz$.

Da also ein Glechsetzen des Feldverlaufs an beiden Enden, das Integral nur um (2 — 1,7) Proz. = 0,3 Proz. verändert, so kann selbst ein Fehler bei der nur schätzungsweise ausgeführten Bestimmung des Feldverlaufes zwischen o und a im Betrags von 30 Proz. das Resultat höchstens um 1 Promille beeinflussen.

Für eine Potentialdifferenz von 2500 Volt = 25 ·. 10¹⁰ elektromagnetische Einh. und einen Plattenabstand von 0,1242 cm wird also:

(8) $\mathbf {E} ={\frac {1,565\cdot 25}{0,1242}}\cdot 10^{10}=\mathbf {315\cdot 10^{10}}$.

Von der Genauigkeit der Feldverlaufsmessung ist nur das zweite Hauptglied ${\overset {b}{\underset {0}{\int }}}Fd\xi =0,167$ abhängig; dieses beträgt 100·0,167/0,809 = 21 Proz. des Ganzen.

Es würde also selbst ein Fehler von 1 Proz. bei den relativen Feldmessungen erst 2 Promille Fehler im Integral hervorrufen. Man kann somit den vom Feldverlauf herrührenden Fehler in E zu 2 Promille ansetzen. Dazu kommt der [548] etwaige Fehler der Potentialbestimmung mit 1 Promille und der Fehler des Plattenabstandes mit 2 Promille. Der maximal mögliche Fehler von E beträgt also 5 Promille.

Anhang III.

Bestimmung von ε/μ₀ aus Kathodenstrahlen.

In meinen bisherigen Arbeiten, auch in der eingangs zitierten letzten Publikation in den Berliner Berichten habe ich für ε/μ₀ den Wert 1,885·10⁷ als extrapoliert aus der Simonschen Zahl 1,865·10⁷ angegeben. Das angewandte Extrapolationsverfahren war jedoch nicht ganz korrekt, da ich bei der Rechnung den Unterschied zwischen transversaler und longitudinaler Masse nicht genügend berücksichtigt hatte. Der extrapolierte Wert wird ferner etwas verschieden, je nach der zugrunde gelegten Theorie.

I. Berechnung nach Abraham.^[1] Die Gesamtenergie des Elektrons ist, wenn a sein Radius, ε die Ladung in elektromagnetischem Maße

$W={\frac {\epsilon ^{2}c^{2}}{2a}}\left\{{\frac {1}{\beta }}lg{\frac {1+\beta }{1-\beta }}-1\right\}$

oder

(1) $W={\frac {\epsilon ^{2}c^{2}}{2a}}\left\{1+{\frac {2}{3}}\beta ^{2}+{\frac {2}{5}}\beta ^{4}\dots \right\}$ ,

für β:0 geht dies in die elektrostatische Energie des ruhenden Elektrons über:

$W_{0}={\frac {\epsilon ^{2}c^{2}}{2a}}$,

also ist der durch die Bewegung erlangte Energiezuwachs

(2) $\left(W-W_{0}\right)=W_{0}\cdot {\frac {2}{3}}\beta ^{2}\left\{1+{\frac {3}{5}}\beta ^{2}\right\}$;

für die transversale Masse des Elektrons gilt die Gleichung:

(3) $\mu ={\frac {2}{3}}{\frac {\epsilon ^{2}}{a}}\left\{1+{\frac {2}{5}}\beta ^{2}\right\}$;

was für β=0 übergeht in:

(4) $\mu _{0}={\frac {2}{3}}{\frac {\epsilon ^{2}}{a}}$;

somit ist:

${\frac {2W_{0}\beta ^{2}}{3}}={\frac {\mu _{0}}{2}}\beta ^{2}c^{2}={\frac {\mu _{0}}{2}}q^{2}$

(da β=q/c, wo q die Geschwindigkeit des Elektrons) folglich:

(5) $W-W_{0}={\frac {\mu _{0}q^{2}}{2}}\left\{1+{\frac {3}{5}}\beta ^{2}\right\}$.

Ist P die vom Elektron durchlaufene Potentialdifferenz, so ist die geleistete elektrische Arbeit εP. Diese muß gleich dem Energiezuwachs sein, also:

(6) $\epsilon P={\frac {\mu _{0}q^{2}}{2}}\left\{1+{\frac {3}{5}}\beta ^{2}\right\}$.

Die magnetische Ablenkung ist bestimmt durch:

(7) $z={\frac {\epsilon }{\mu q}}M={\frac {\epsilon }{\mu _{0}q}}M\left(1-{\frac {2}{5}}\beta ^{2}\right)$.

Aus (6) und (7) folgt, durch Elimination von q:

(8) ${\frac {\epsilon }{\mu _{0}}}={\frac {2Pz^{2}}{M^{2}}}\left(1+{\frac {1}{5}}\beta ^{2}\right)$.

Setzt man den Annäherungswert für ε/μ₀, nämlich 2Pz²/M=α, so ist in dem Korrektionsgliede mit genügender Genauigkeit, nach Gleichung (6):

$\beta ^{2}={\frac {2\epsilon P}{\mu _{0}c^{2}}}=2\alpha {\frac {P}{c^{2}}}$,

also

(9) ${\frac {\epsilon }{\mu _{0}}}=\alpha \left(1+{\frac {2}{5}}\alpha {\frac {P}{c^{2}}}\right)$.

Es ist bei Simon:

α = 1,865·10⁷, P= 8300 Volt = 8300·10⁸ im Mittel,

woraus:

${\frac {2}{5}}\alpha {\frac {P}{c^{2}}}=0,0070$

und

(10) ${\frac {\epsilon }{\mu _{0}}}=1,878\cdot 10^{7}$ (Abraham)

II. Berechnung nach Bucherer.^[2] Es ist:

$W=W_{0}{\frac {1+{\frac {\beta ^{2}}{3}}}{(1-\beta ^{2})^{1/3}}}$

woraus durch Reihenentwickelung:

(11) $W=W_{0}=W_{0}\cdot {\frac {2}{2}}\beta ^{2}\left(1+{\frac {1}{2}}\beta ^{2}\right)$,

[550] oder

(12) $W-W_{0}=\epsilon P={\frac {\mu _{0}q^{2}}{2}}\left(1+{\frac {1}{2}}\beta ^{2}\right)$,

ferner:

$\mu =\mu _{0}\cdot (1-\beta ^{2})^{1/3}$,

also

(13) $z={\frac {\epsilon }{\mu q}}M={\frac {\epsilon }{\mu _{0}q}}M(1-\beta ^{2})^{1/3}$,

woraus wieder durch Elimination von q:

(14) ${\frac {\epsilon }{\mu _{0}}}={\frac {2Pz^{2}}{M^{2}}}(1+{\frac {1}{6}}\beta ^{2})$,

oder in gleicher Bezeichnungsweise wie bei I:

(15) ${\frac {\epsilon }{\mu _{0}}}=\alpha \left(1+{\frac {1}{3}}\alpha {\frac {P}{c^{2}}}\right)$.

Es ist

${\frac {1}{3}}\alpha {\frac {P}{c^{2}}}=0,0059$,

somit:

(16) ${\frac {\epsilon }{\mu _{0}}}=1,876\cdot 10^{7}$ (Bucherer)

III. Berechnung nach Lorentz. Beim Lorentzschen Elektron ist, wie bereits in der Einleitung erwähnt, das Energieprinzip nur dann aufrecht zu erhalten, wenn man dem Elektron nach Abraham (l. c. p. 207) eine innere Energie E zuschreibt, für welche die Gleichung gilt:

(17) ${\frac {dE}{dq}}=-{\frac {\mu _{0}}{4}}{\frac {q}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$

und dann setzt:

(18) ${\begin{cases}\epsilon P=(W-W_{0})+{\overset {q}{\underset {0}{\int }}}{\frac {dE}{dq}}dq=W-W_{0}+{\frac {\mu _{0}c^{2}}{4}}\left\{{\sqrt {1-\beta ^{2}}}-1\right\}\\\qquad =W-W_{0}-{\frac {\mu _{0}q^{2}}{2\cdot 4}}\left\{1+{\frac {\beta ^{2}}{4}}\right\},\end{cases}}$

für W gilt:

(19) $W={\frac {\epsilon ^{2}c^{2}}{2a}}{\frac {1+{\frac {\beta ^{2}}{3}}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}=W_{0}{\frac {1+{\frac {\beta ^{2}}{3}}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$,

woraus durch Reihenentwickelung:

(20) $W-W_{0}={\frac {\mu _{0}q^{2}}{2}}\cdot {\frac {5}{4}}\left[1+{\frac {13}{20}}\beta ^{2}\right]$

[551] oder

(21) $\epsilon P={\frac {\mu }{2}}q^{2}\left\{{\frac {5}{4}}\left[1+{\frac {13}{20}}\beta ^{2}\right]-{\frac {1}{4}}\left[1+{\frac {1}{4}}\beta ^{2}\right]\right\}$,

oder

(22) $\epsilon P={\frac {\mu _{0}q^{2}}{2}}\left\{1+{\frac {3}{4}}\beta ^{2}\right\}$.

Ferner ist

(23) $\mu =\mu _{0}(1-\beta ^{2})^{-1/2}$,

woraus

(24) $z^{2}={\frac {\epsilon ^{2}}{\mu _{0}^{2}}}\cdot {\frac {M^{2}}{q^{2}}}(1-\beta ^{2})$

und

(25) ${\frac {\epsilon }{\mu _{0}}}={\frac {2Pz^{2}}{M^{2}}}\left(1+{\frac {1}{4}}\beta ^{2}\right)$

oder

(26) ${\frac {\epsilon }{\mu _{0}}}=\alpha \left(1+{\frac {1}{2}}\alpha {\frac {P}{c^{2}}}\right)$.

Es ist

${\frac {a}{2}}{\frac {P}{c^{2}}}=8,8\cdot 10^{-3}$

und

(27) ${\frac {\epsilon }{\mu _{0}}}=1,881\cdot 10^{7}$ (Lorentz)

Da die Unterschiede in ε/μ₀ nach I, II und III innerhalb der Beobachtungsfehler liegen, so genügt es den Mittelwert zu nehmen:

${\frac {\epsilon }{\mu _{0}}}=1,878\cdot 10^{7}$.

Anhang IV.

Grenzen des β-Strahlenspektrums.

Die Grenzen der gemessenen Kurve stellen nicht die wirklichen Grenzen des überhaupt sichtbaren "Spektrums" der β-Strahlen dar. Dieses erstreckt sich beiderseits noch ein Stück über die Grenze der genauen Meßbarkeit heraus. Wie weit sich die Kurve noch verfolgen läßt, hängt natürlich sehr von dem Zustand der Platten ab. Weitaus am klarsten waren die ersten, noch von den Vorversuchen stammenden Platten, bei deren Aufnahme der Apparat noch nicht merklich durch induzierte Aktivität infiziert war. Auf Platte Nr. 1, die ohne elektrisches Feld aufgenommen war, ließ sich die Kurve nach außen bis z_b=0,71, also z’=0,655 verfolgen. Auf Platte 2 lag die innere Sichtbarkeitsgrenze bei etwa z_b=z’=0,06.

[552] Diesen beiden Grenzen entsprechen nach Abraham und Bucherer folgende Werte von β:

		β
zb	Abraham	Bucherer
0,06 0,71	0,9995 0,48	0,9975 0,48

Der Intensitätsabfall an beiden Grenzen ist ein sehr allmählicher; man kann kaum sagen, ob jenseits der angegebenen Grenzen die Intensität wirklich Null wird, oder nur zu schwach, um sich von dem allgemeinen Schleier, der die Platte bedeckt, genügend abzuheben. Vermutlich nähert sich die Intensität der Strahlen nach beiden Seiten hin asymptotisch der Grenze Null.

Da die Starkeschen Messungen (l. c.) bis zu etwa β=0,38 reichen, so ist das noch unerforschte Gebiet ein verhältnismäßig kleines. Es erscheint durchaus nicht unmöglich, die Lücke mittels Kathodenstrahlen zu überbrücken, denn für β=0,5 bedarf es einer Spannung von rund 140 000 Volt; derartige Spannungen sind aber an harten X-Strahlenröhren nichts Außergewöhnliches. Mit Kathodenstrahlen derartiger Geschwindigkeit wird also tatsächlich operiert; es handelt sich bloß noch darum, an diesen auch Messungen auszuführen. In diesem Gebiet von β=0 bis β=0,5 weichen aber die beiden Kurven von Abraham und Bucherer am meisten voneinander ab; dort allein ist somit eine sichere Entscheidung möglich.

Anhang V.

Hilfstabelle für Abrahamsche Theorie.

β	3/4·u	3/4 ·v	dv/du
0,55 0,56 0,57 0,58 0,59 0,60 0,61 0,62 0,63 0,64 0,65 0,66 1,67 0,68 1,69 0,70 0,71 0,72 0,73 0,74 0,75 0,76 0,77 0,78 0,79 0,80 0,81 0,82 0,83 0,84 0,85 0,86 0,87 0,88 0,89 0,90 0,905 0,91 0,915 0,92 0,925 0,93 0,935 0,94 0,945 0395 0,955 0,96 0,965 0,97 0,975 0,98 0,985 0,99 0,995 0,996 0,997 0,998 0,999 0,9995	1,1842 1560 1285 1018 0758 0505 0258 0018 0,9783 9554 9330 9110 0,8894 8684 8477 8273 8073 7877 7683 7491 7303 7117 6932 6747 0,6569 6389 6210 6032 5855 5678 5500 5321 5142 4961 4777 4590 4495 4399 4301 4202 4101 3999 0,3894 3786 3675 3561 3442 3317 31845 3044 2893 2725 2534 2306 1994 1911 1813 1683 1513 1370	2,1531 0642 1,9799 8997 8234 7509 6817 6158 5529 4928 4354 3803 1,3275 2770 2285 1819 1370 0940 0524 0123 0,9737 9364 9003 8653 0,8315 7986 7667 7356 7054 6759 6470 6187 5910 5637 5367 5100 4967 4834 4701 4568 4434 4300 0,4165 4028 3889 3748 3603 3455 3300 3138 2967 2781 2573 2329 2004 1919 1818 1686 1515 1371	3,15 3,07 3,00 2,93 2,87 2,74 2,67 2,62 2,56 2,50 2,45 2,45 2,40 2,34 2,28 2,24 2,18 2,15 2,09 2,05 2,00 1,95 1,91 1,87 1,87 1,83 1,78 1,74 1,70 1,67 1,63 1,59 1,55 1,51 1,47 1,43 1,40 1,38 1,36 1,34 1,33 1,31 1,29 1,29 1,27 1,25 1,24 1,22 1,19 1,16 1,15 1,13 1,11 1,09 1,07 1,04 1,03 1,03 1,01 1,00 1,00

Hilfstabelle für Bucherersche Theorie.

β	3/4·u	3/4 ·v	dv/du
0,50 0,52 0,54 0,56 0,58 0,60 0,62 0,64 0,66 0,68 0,70 0,72 0,74 0,76 0,78 0,80 0,82 0,84 0,86 0,88 0,90 0,91 0,92 0,93 0,94 0,95 0,96 0,97 0,98 0,99	1,8171 7312 6508 5752 5039 4363 3721 3108 2522 1957 1413 0888 0378 0,9872 9380 0,8892 8407 7920 7425 6918 6388 6110 5821 5517 5194 4845 4458 4017 3478 2737	3,6342 3294 0581 2,8129 5929 3938 2130 0481 1,8972 7584 6305 5121 4019 2990 2026 1,1115 0253 0,9428 8634 7861 7097 6714 6327 5933 5526 5100 4644 4142 3549 2765	3,55 3,37 3,25 3,09 2,95 2,82 2,69 2,57 2,46 2,35 2,25 2,15 2,05 1,96 1,87 1,87 1,78 1,69 1,60 1,52 1,44 1,38 1,34 1,30 1,26 1,22 1,18 1,14 1,10 1,06

Bonn, dem 1. Januar 1906.

(Eingegangen 3. Januar 1906.)

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1. M. Abraham, Theor. d. Elektr. 2. p. 179. Leipzig 1905.
2. A. Bucherer, Math. Einf. in die Elektronentheorie. p. 58. Leipzig 1904.