La physique depuis vingt ans/Le Temps, l’espace et la causalité dans la physique contemporaine

Paul Langevin

La physique depuis vingt ans

1923 (p. 301-344).

LE TEMPS, L’ESPACE ET LA CAUSALITÉ DANS LA PHYSIQUE CONTEMPORAINE

Des faits expérimentaux indiscutables conduisent à poser en principe l’impossibilité de mettre en évidence le mouvement de translation d’ensemble d’un système matériel par des expériences de nature quelconque faites à l’intérieur de ce système (principe de relativité).

L’ensemble des lois fondamentales de la physique est en harmonie parfaite avec ce principe à condition qu’on modifie les notions d’espace et de temps telles qu’on les conçoit ordinairement et telles que les exige la mécanique rationnelle.

Ces modifications portent en particulier sur la notion de simultanéité qui perd son sens absolu, sur la relation de cause à effet qui ne peut s’établir à distance qu’au bout d’un temps supérieur à une certaine limite ; enfin elles conduisent à la possibilité de modifier le cours du temps^[1].

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DISCUSSION

M. LANGEVIN. — Je me propose de vous indiquer aussi clairement que possible les faits nouveaux qui ont obligé les physiciens à modifier les conceptions habituelles de l’espace et du temps, telles que les imposaient les lois de la mécanique classique et la conviction que ces lois permettaient d’expliquer les phénomènes. C’est la découverte de nouveaux faits expérimentaux, grâce à des moyens d’investigation perfectionnés, qui nous a fait pénétrer dans un domaine inconnu jusqu’ici et qui nous oblige à remanier les notions anciennes, telles que nos ancêtres, ignorants de ces faits, nous les ont transmises.

Le langage que parlent les physiciens s’écarte quelquefois de celui des philosophes et nous devons nous efforcer, pour notre propre compréhension mutuelle, d’éviter les difficultés tenant à l’emploi des mêmes mots, dans des sens parfois différents. C’est ainsi qu’il semble exister une divergence de ce genre en ce qui concerne la question du temps ; pour beaucoup de philosophes, cette notion se confond avec celle de la succession des états de conscience d’un même individu, des événements qui s’enchaînent dans une même portion de matière ; les physiciens ont à envisager des événements qui se passent en des points différents et en particulier à préciser la notion de simultanéité. Ils se sont demandé ce qu’on entend par simultanéité et par succession de deux événements distants dans l’espace. Nous verrons qu’une grande partie des résultats récents concerne la réponse à cette question. Au point de vue des conceptions habituelles ou de la mécanique, la simultanéité ou l’ordre de succession de deux événements distants dans l’espace a une signification absolue, indépendante des observateurs ; dans les conceptions nouvelles, au contraire, cette signification est purement relative : deux événements simultanés pour certains observateurs ne le sont pas pour d’autres en mouvement par rapport aux premiers ; deux événements qui se succèdent dans un certain ordre pour les premiers observateurs peuvent se succéder dans l’ordre opposé pour les seconds. Le temps du philosophe correspond à la succession d’une série très particulière d’événements, ceux qui s’enchaînent dans une même portion de matière ou dans une même conscience, et se confond, au point de vue de la mesure, avec ce que nous appellerons le « temps propre » de cette portion de matière ; nous aurons à nous poser la question de comparer les temps propres de diverses portions de matière en mouvement les unes par rapport aux autres.

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Les résultats nouveaux dont nous aurons à tenir compte pour répondre aux questions de ce genre, peuvent se résumer dans l’énoncé d’un principe, dont la signification générale n’a été reconnue que tout récemment : le Principe de Relativité.

Étant donnés divers groupes d’observateurs en mouvement de translation uniforme les uns par rapport aux autres, les lois des phénomènes physiques sont exactement les mêmes pour tous ces groupes d’observateurs.

Ce principe dérive du résultat négatif de toutes les expériences tentées pour mettre en évidence le mouvement de translation uniforme d’un système matériel par des observations intérieures à ce système. Pour en bien comprendre la signification, et pour voir comment ce principe est traduit dans le langage précis des mathématiciens, je rappellerai les cas particuliers de relativité antérieurement connus.

Il y a tout d’abord une relativité de l’espace. Chaque observateur examine l’espace d’un point de vue personnel et l’aspect des choses change avec la position qu’il occupe. Malgré ce changement, on a pu dégager, dans la notion d’espace, une réalité extérieure à chacun de nous, indépendante du système particulier auquel on la rapporte, et dont l’étude constitue l’objet de la géométrie. Le principe de relativité de l’espace consiste en ceci que les lois de la géométrie sont indépendantes du point de vue particulier d’où l’espace est observé. Voici la traduction précise de ce principe.

L’espace peut être rapporté à différents systèmes de coordonnées ; chaque observateur porte avec lui son système de coordonnées. Un tel système est constitué par trois axes que nous supposerons rectangulaires et un point de l’espace est défini par trois coordonnées x, y, z, qui sont les distances de ce point aux trois plans formés par ces axes. Les coordonnées d’un même point changent avec le système auquel on le rapporte et deviennent, par exemple, x', y', z' dans un nouveau système. On appelle formules de transformation des coordonnées, les relations qui expriment les coordonnées anciennes x, y, z en fonction des nouvelles x', y', z'. Ces relations font intervenir les paramètres, en nombre égal à six, qui définissent la position relative des deux systèmes d’axes. Une propriété essentielle de ces transformations est qu’elles forment un groupe, c’est-à-dire que, si l’on effectue successivement deux transformations de ce genre, la première correspondant au passage du système x, y, z au système x', y', z', la seconde au passage du système x', y', z' à un troisième système x", y", z", le résultat, la relation entre les coordonnées x, y, z et x", y", z", est exprimé par des formules de même genre correspondant au passage direct du premier système d’axes au troisième. L’ensemble de toutes ces transformations de coordonnées, correspondant à toutes les valeurs possibles des six paramètres qui caractérisent une transformation, jouit donc de cette propriété que l’emploi successif d’un nombre quelconque de transformations de ce groupe est équivalent à une transformation unique du même groupe. Ce groupe peut encore être défini par la propriétés suivante : si nous considérons deux points, de coordonnées x₁, y₁, z₁, x₂, y₂, z₂ dans un premier système, x'₁, y'₁, z'₁, x'₂, y'₂, z'₂ dans le second système, malgré le changement de ces coordonnées, un élément, une fonction des six coordonnées, reste invariant pour toutes les transformations. Cet élément est la distance des deux points, dont le carré, d² a pour valeur

$\scriptstyle d^{2}=(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}=(x'_{2}-x'_{1})^{2}+(y'_{2}-y'_{1})^{2}+(z'_{2}-z'_{1})^{2}.$

Les formules qui expriment les x, y, z en fonction des x', y', z' doivent donc satisfaire à cette condition que, si dans l’expression :

$\scriptstyle (x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}$

on remplace les x, y, z par leurs valeurs en fonction des x', y', z' le résultat doit être simplement

$\scriptstyle (x'_{2}-x'_{1})^{2}+(y'_{2}-y'_{1})^{2}+(z'_{2}-z'_{1})^{2}$

cette condition suffit à définir entièrement le groupe de transformation.

Dans la figure formée par deux points, il y a donc un élément, la distance de ces deux points, qui reste invariant malgré le changement quelconque du système d’axes. On peut dire que cet élément est intrinsèque à la figure, correspond à une réalité indépendante de tout système d’axes. Dans les figures plus compliquées, d’autres éléments invariants, d’autres fonctions des coordonnées des points de la figure s’introduisent (distances, angles, etc.) qui caractérisent la figure indépendamment du système d’axes employé. La géométrie pure fait intervenir uniquement de pareils éléments et traduit les propriétés des figures par des relations entre ces éléments. Par exemple, la propriété, de la figure formée par quatre points, d’être un carré s’exprime au moyen de cinq relations entre les distances de ces quatre points et les angles qu’elles forment. Une première relation exprimera que les quatre points sont dans un même plan, trois autres que l’un des côtés du quadrilatère est égal à chacun des trois autres côtés, et une dernière que deux angles consécutifs sont égaux.

Les propriétés ainsi traduites dans le langage intrinsèque de la géométrie peuvent s’exprimer, comme le fait la géométrie analytique de Descartes, par des relations entre les coordonnées des points de la figure ; dans le cas particulier, par cinq relations entre les douze coordonnées des quatre sommets du carré. La forme de ces relations doit être évidemment indépendante du système d’axes considéré et doit se conserver, quand on y substitue, au moyen des formules de transformation, les coordonnées anciennes en fonction des coordonnées rapportées à un nouveau système d’axes.

Par conséquent, les équations qui expriment les propriétés des figures ou les lois de la géométrie, dans le langage des coordonnées, doivent avoir la même forme dans tous les systèmes d’axes. Cette forme doit être invariante pour toutes les transformations du groupe de la géométrie. Cette invariance de la forme des relations qui traduisent les lois de la géométrie, malgré le changement des coordonnées, correspond à une réalité indépendante du système d’axes, à l’espace de la géométrie euclidienne. L’énoncé des lois sera, par conséquent, plus simple dans le langage euclidien. Le principe de relativité de l’espace est l’affirmation d’une telle invariance et de l’existence de la réalité extérieure de l’espace.

D’une manière analogue, les lois des phénomènes physiques s’expriment par des relations entre les diverses grandeurs qui y interviennent simultanément et telles que les mesure un groupe déterminé d’observateurs. Si un autre groupe en mouvement par rapport au premier observe le même phénomène, les grandeurs mesurées changeront en général et le principe de relativité énoncé plus haut affirme que, malgré ce changement, la forme des relations qui traduisent les lois des phénomènes restera invariante. C’est là l’énoncé précis où je voulais aboutir et qui laisse prévoir la possibilité de créer, comme le fait la géométrie d’Euclide, un langage intrinsèque faisant intervenir uniquement des éléments invariants, de mesure indépendante du groupe particulier d’observateurs et de son mouvement particulier de translation. Ce langage correspond à une réalité plus haute que celle de l’espace et que les physiciens commencent à dégager, d’après Minkowski, sous le nom d’Univers. J’indiquerai, tout à l’heure, ce qui, dans l’Univers, synthétise les notions relatives de l’espace et du temps.

⁂

Un aspect particulier du principe général de relativité avait été reconnu par les fondateurs de la mécanique et traduit par les équations du mouvement. C’est le fait que des expériences purement mécaniques effectuées à l’intérieur d’un système en translation uniforme, ne peuvent pas déceler ce mouvement ; autrement dit qu’il n’y a pas de mouvement de translation absolu. Nous appellerons système de référence un système de coordonnées en mouvement par rapport auquel se vérifient les lois de la mécanique classique, ou tout autre système en translation uniforme par rapport au premier. La relativité, en mécanique, correspond à ceci que rien ne différencie les uns des autres ces différents systèmes de référence et que les équations de la mécanique doivent, conserver leur forme quand on y remplace les mesures faites par un groupe d’observateurs en fonction des mesures obtenues pour les mêmes éléments par un autre groupe en mouvement de translation par rapport au premier. Ces éléments sont de diverse nature : la cinématique fait intervenir, à côté de l’espace, la notion de temps ainsi que les notions dérivées de vitesse et d’accélération, la statique et la dynamique y ajoutent les notions de force, masse, travail, etc.

Un postulat fondamental de la mécanique classique est celui qui fait jouer au temps le rôle d’un des invariants dont j’ai parlé plus haut : c’est ce que j’appellerai l’hypothèse du temps absolu. Soient deux événements, par exemple deux positions successives d’un mobile ; chacun d’eux est défini par sa situation dans l’espace, par le point de l’espace où se trouve le mobile à l’instant considéré. Un événement est ainsi caractérisé, au point de vue de sa situation dans l’espace et dans le temps, par quatre coordonnées x, y, z, t, trois pour l’espace et une pour le temps. Ces coordonnées, pour un même événement, changent évidemment avec le système de référence employé. Si t₁ et t₂ représentent les positions dans le temps de nos deux événements, la mécanique et, avec elle, le sens commun, postulent que l’intervalle de temps t₂ - t₁ entre les événements a un sens absolu indépendant du système de référence. Sans préciser en général comment sera mesuré cet intervalle de temps entre deux événements éloignés dans l’espace, on admet que cette mesure est la même pour tous les groupes d’observateurs. La simultanéité des deux événements correspond à une valeur nulle, l’ordre de succession est déterminé par le signe de cette quantité invariante ; de là résulte encore le caractère absolu de ces deux notions de simultanéité et d’ordre de succession.

Si, pour la mécanique, l’intervalle dans le temps de deux événements a un sens absolu, il n’en sera pas de même de leur distance dans l’espace. Un exemple simple suffira pour montrer que celle-ci est essentiellement variable avec le groupe d’observateurs. Imaginons un wagon en mouvement par rapport au sol, et supposons que, par une ouverture dans le plancher du wagon, on laisse tomber successivement deux objets. Ces deux événements ont lieu en un même point, ont une distance nulle dans l’espace, pour des observateurs liés au wagon et se passent au contraire en des points différents pour des observateurs liés au sol, leur distance dans l’espace pour ces derniers étant égale au chemin parcouru par le wagon pendant l’intervalle de temps qui les sépare.

Si donc la distance dans l’espace d’événements successifs change avec le système de référence employé, et s’il en est autrement pour la simultanéité, l’intervalle dans le temps ou l’ordre de succession de deux événements, on peut dire, à ce point de vue, que le temps et l’espace jouent des rôles différents dans la conception de l’univers que donne la mécanique classique, et dans laquelle le temps joue le rôle d’invariant. Nous verrons que cette dissymétrie entre les propriétés de l’espace et du temps, telles que les exige la mécanique, disparaît dans la conception plus générale qu’impose la forme nouvelle du principe de relativité.

Remarquons que lorsqu’il s’agit d’événements simultanés, la distance dans l’espace est indépendante du mouvement des observateurs, dans la conception ordinaire de l’Univers. Autrement dit, dans cette conception, la forme d’un corps déterminée par l’ensemble des positions simultanées des points matériels qui composent le corps, est indépendante du mouvement des observateurs ; elle a un sens absolu. À ce point de vue, les notions habituelles font intervenir un temps absolu et un espace absolu.

Voyons d’abord sous quelle forme se présentent les transformations de l’espace et du temps compatibles avec la mécanique classique, quand on passe d’un système de référence à un autre en mouvement uniforme par rapport au premier. Soient x, y, z, t, les coordonnées d’un événement dans le premier système de références x', y', y', t' les coordonnées de ce même événement dans un autre système, que, pour simplifier, nous supposerons se mouvoir par rapport au premier avec la vitesse v dans la direction de l’axe des x, les axes ayant en outre les mêmes directions dans les deux systèmes. L’hypothèse du temps absolu conduit à la relation $\scriptstyle t=t'$ à condition que les origines du temps soient les mêmes dans les deux systèmes. On aura pour les coordonnées d’espace, dans le cas le plus simple,

$\scriptstyle x=x'-vt$
$\scriptstyle y=y'$
$\scriptstyle z=z'.$

Les quatre relations qui viennent d’être écrites définissent une transformation dépendant d’un seul paramètre v et toutes les transformations de ce genre, correspondant à toutes les valeurs possibles de v, constituent un groupe, auquel on peut donner le nom de groupe de Galilée.

Les équations fondamentales de la mécanique, dans le cas le plus simple du mouvement d’un point matériel, font intervenir la masse m de ce point, l’accélération, dont les composantes sont respectivement :

$\scriptstyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}},{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}$

{{a|et la force dont les composantes suivant les trois axes seront X, Y, Z. On admettra avec Newton que la masse est un invariant, c’est-à-dire que sa mesure est la même pour tous les groupes d’observateurs et que les composantes de la force se comportent dans une transformation comme les trois projections d’une distance sur les axes, c’est-à-dire restent constantes dans le cas particulier que nous avons admis, où les axes x, y, z, et x', y', z', sont de même direction. Les composantes de l’accélération|0|0}}

$\scriptstyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}},{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}$

quand on y remplace x, y, z et t en fonction de x', y', z', t' se transforment en :

$\scriptstyle {\frac {d^{2}x'}{dt^{2}}},{\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}},{\frac {d^{2}z'}{dt^{2}}}$

Il en résulte que les équations de la dynamique du point

$\scriptstyle m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=X$
$\scriptstyle m{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=Y$
$\scriptstyle m{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=Z$,

quand on y remplace la masse, l’accélération et la force mesurées dans le premier système de référence par leurs mesures effectuées dans le nouveau deviennent :

$\scriptstyle m'{\frac {d^{2}x'}{dt^{2}}}=X'$
$\scriptstyle m'{\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}=Y'$
$\scriptstyle m'{\frac {d^{2}z'}{dt^{2}}}=Z'$,

{{a| c’est-à-dire conservent leur forme, et cette invariance de la forme traduit analytiquement le principe de relativité en mécanique : les lois du mouvement sont les mêmes, quel que soit le système de référence adopté.|0|0}}

Comme la géométrie, la mécanique possède un langage intrinsèque, qui traduit cette invariance de la forme par des relations entre des éléments invariants, indépendants du système de référence. Ces éléments invariants sont les uns scalaires, c’est-à-dire non dirigés, comme le temps et la masse, les autres vectoriels comme l’accélération ou la force. Nous pouvons en effet représenter l’accélération d’un mobile par un vecteur γ, c’est-à-dire par une droite dirigée ayant pour projections, sur un système d’axes quelconque, les composantes, de l’accélération ; la force par un autre vecteur F de projections X, Y, Z et les lois de la dynamique du point s’exprimeraient par la seule formule intrinsèque

$\scriptstyle \mathbf {F} =m\gamma$

⁂

On peut d’une façon analogue dégager, pour l’ensemble des notions de l’espace et du temps, une réalité indépendante des systèmes de référence en mouvement les uns par rapport aux autres auxquels on peut la rapporter, de même qu’en géométrie nous avons introduit un espace indépendant des systèmes d’axes particuliers. Minkowski a proposé de donner le nom d’Univers à cette réalité, définie comme étant l’ensemble des événements, comme l’espace est l’ensemble des points.

Un événement correspond, au point de vue de l’espace et du temps, à ceci qu’il existe ou se passe quelque chose en un certain point à un certain instant, le point et l’instant dépendant du système de référence, mais l’événement en étant conçu comme indépendant, de même qu’en géométrie les coordonnées d’un point dépendent du système d’axes, mais le point lui-même est conçu de manière intrinsèque.

Dans ce langage, l’espace sera défini comme l’ensemble des événements simultanés ; de manière plus précise cette conception nous conduit à définir la forme d’un corps en mouvement comme l’ensemble des positions occupées simultanément par les différents points matériels qui composent ce corps. Cela revient à dire encore que, pour définir l’espace, on ne peut envisager que l’état du système à un moment donné, on doit faire dans l’ensemble plus complexe de l’Univers une coupe à temps donné. La conception particulièrement simple de l’Univers qui est compatible avec la mécanique et que définit le groupe de Galilée, possède cette propriété que la forme d’un corps est indépendante du système de référence ; ou encore que tous ces systèmes ont le même espace comme ils ont le même temps d’après l’hypothèse du temps absolu. L’univers de la mécanique, invariant dans son ensemble, se décompose ainsi en deux constituants, l’espace et le temps, séparément invariants ; nous verrons qu’il n’en est plus ainsi dans la conception de l’univers compatible avec les théories nouvelles et ceci explique pourquoi la notion générale d’Univers, tacitement contenue dans les raisonnements anciens, ne s’est explicitée d’une façon nécessaire que depuis l’abandon du groupe de Galilée exigé par les découvertes expérimentales récentes.

⁂

On a cru possible, pendant le XVIII^e et pendant la plus grande partie du XIX^e siècle, de donner de tous les phénomènes physique des explications mécaniques invoquant les lois du mouvement comme phénomènes simples servant de point de départ à toute explication. Les lois de la physique devraient, à ce point de vue, posséder comme celles de la mécanique, la propriété de conserver leur forme pour toutes les transformations du groupe de Galilée compatibles avec la notion du temps absolu.

Nous allons montrer que dans cette hypothèse du temps absolu et en admettant, pour les phénomènes optiques, la théorie des ondulations que l’expérience a imposée, il est impossible que la propagation de la lumière se fasse avec la même vitesse dans toutes les directions, à la fois pour divers groupes d’observateurs en mouvement les uns par rapport aux autres. Nous allons examiner, en nous plaçant au point de vue des anciennes conceptions, la signification de l’expérience célèbre de Michelson et Morley, destinée à comparer ces vitesses de propagation.

Étant donnée l’imperfection de nos moyens directs de mesure du temps, on ne peut songer à comparer entre eux les temps mis par la lumière pour parcourir un même chemin dans deux directions opposées AB et BA. Les mesures de vitesse de la lumière se font toujours en ramenant, par une réflexion, la perturbation lumineuse à son point de départ et en mesurant le temps qui sépare l’émission du retour ; avec une précision plus grande encore, grâce à l’emploi des interférences, il est possible de comparer les durées d’aller et retour dans deux directions perpendiculaires.

Raisonnement I. — Supposons d’abord l’expérience faite par des observateurs qui admettent que la lumière se propage avec la même vitesse dans toutes les directions, et raisonnons dans le système de référence lié à ces observateurs et à leurs appareils. Sur une plate-forme horizontale se trouve une source de lumière S dont la radiation tombe sur une lame de verre O, inclinée à 45° : une partie de la lumière incidente se réfléchit vers le miroir M, revient en O et traverse la lame pour tomber dans la lunette L ; l’autre partie de la radiation a traversé la lame O, s’est réfléchie sur le miroir N et, revenue en O, s’y réfléchit pour se superposer dans la lunette L au premier rayon et interférer avec lui. L’aspect des interférences ainsi produites, et visible dans le champ de la lunette L, permet de savoir si les temps nécessaires à l’aller et retour de OM et de ON sont égaux ou non. Si ces temps sont égaux, les perturbations lumineuses apportées au foyer de la lunette par les deux rayons concordent et on a un maximum d’intensité lumineuse en ce point. Si la lumière se propage avec la même vitesse V dans les quatre directions OM, MO, ON, NO, les deux temps d’aller et retour sont $\scriptstyle {\frac {2\mathrm {ON} }{\mathrm {V} }}$ et $\scriptstyle {\frac {2\mathrm {OM} }{\mathrm {V} }}$. Si l’appareil est réglé de manière à donner l’aspect d’interférence qui correspond à l’égalité des temps, on en conclut

$\scriptstyle \mathrm {OM} =\mathrm {ON}$

et l’aspect des franges devra rester le même pour une rotation quelconque de la plate-forme, en particulier lorsqu’une rotation de 90° aura permuté les directions OM et ON.

Inversement, la permanence d’aspect du phénomène optique, pendant la rotation, montre l’équivalence des diverses directions au point de vue de la propagation. Un fait remarquable est que cette expérience, réalisée par Michelson et Morley dans des conditions de précision telle qu’on aurait pu déceler une différence de l’ordre du milliardième entre les deux durées de propagation, a toujours donné, en toute saison, un résultat complètement négatif au point de vue d’une influence de l’orientation de la plate-forme sur l’aspect des franges d’interférence dans le champ de la lunette.

Montrons que ce résultat est en contradiction avec les conceptions habituelles de l’espace et du temps si l’on conserve la théorie des ondulations en optique.

Raisonnement II. — Prenons une première position de la Terre pour laquelle l’expérience a montré que la lumière se propage de la même manière dans toutes les directions et examinons, au point de vue du système de référence lié à la Terre à ce moment de sa course, l’expérience faite six mois plus tard par des observateurs O' qui se meuvent par rapport aux premiers O, avec une vitesse v égale à 60 kilomètres par seconde. Supposons d’abord l’appareil orienté de manière que la direction ON soit parallèle à cette vitesse v. La source S se meut, à présent, par rapport aux observateurs O ; mais dans la théorie des ondulations, la lumière qu’elle émet doit se propager de manière indépendante du mouvement de la source, c’est-à-dire, toujours pour les observateurs O, avec une même vitesse V dans toutes les directions. Quand la lumière, transmise à travers la lame O, se propage vers le miroir N, celui-ci, pour les observateurs O, fuit devant la lumière avec la vitesse v ; cette lumière, qui se propage avec la vitesse V, mettra, par suite, pour atteindre le miroir, un temps : $\scriptstyle {\frac {\mathrm {ON} }{\mathrm {V} -v}}$. Au retour la lame O vient au-devant de la lumière avec la vitesse v. La durée du retour sera par conséquent $\scriptstyle {\frac {\mathrm {ON} }{\mathrm {V} +v}}$ et le temps total pour l’aller ci retour sera

$\scriptstyle t_{1}={\frac {\mathrm {ON} }{\mathrm {V} -v}}+{\frac {\mathrm {ON} }{\mathrm {V} +v}}=\mathrm {ON} {\frac {2\mathrm {V} }{\mathrm {V} ^{2}-v^{2}}}$

La lumière réfléchie sur la lame O vers le miroir M trouvera à son retour, la lame O déplacée et devra parcourir les deux côtés du triangle isocèle OM₁O₁ dont la hauteur est égale à OM et tel que les chemins OM₁O₁ et OO₁ sont parcourus pendant le même temps, le premier par la lumière avec la vitesse V, le second par la lame O avec la vitesse v. Ce temps a pour valeur

$\scriptstyle t_{2}={\frac {\mathrm {OO} _{1}}{v}}={\frac {2\mathrm {OM} _{1}}{v}}={\frac {2\mathrm {OM} }{\sqrt {\mathrm {V} ^{2}-v^{2}}}}$

Si l’appareil est réglé pour donner l’aspect de franges qui correspondent à l’égalité des temps, on doit avoir t₁ = t₂ d’où

$\scriptstyle {\frac {\mathrm {ON} }{\mathrm {OM} }}={\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{\mathrm {V} ^{2}}}}}$

Supposons maintenant qu’on fasse tourner la plate-forme de 90°. Les distances ON et OM permutent leurs directions. La durée d’aller et retour dans la direction de la vitesse v devient

$\scriptstyle t'_{1}=\mathrm {OM} \times {\frac {2\mathrm {V} }{\mathrm {V} ^{2}-v^{2}}}$

et dans la direction perpendiculaire

$\scriptstyle t'_{2}={\frac {2\mathrm {ON} }{\sqrt {\mathrm {V} ^{2}-v^{2}}}}$

Le rapport de ces temps est

$\scriptstyle {\frac {t'_{2}}{t'_{1}}}={\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{\mathrm {V} ^{2}}}}}\times {\frac {\mathrm {ON} }{\mathrm {OM} }}=1-{\frac {v^{2}}{\mathrm {V} ^{2}}}$

Les durées de propagation doivent donc être inégales : l’écart relatif étant égal au carré du rapport de la vitesse v à la vitesse de la lumière. Pour v = 60 km. par seconde et V = 300 000 km., cet écart est de 1/25 000 000 ou 40 milliardièmes, c’est-à-dire tel que la précision des mesures est largement suffisante pour le mettre en évidence s’il existe. On devrait s’attendre à ce que l’égalité des durées de parcours, réalisée pour une première position de la plate-forme cesse d’exister quand on fait tourner celle-ci, que l’aspect des interférences vues dans la lunette change à mesure que la plate-forme tourne.

Contrairement à cette prévision, l’expérience donne toujours un résultat complètement négatif. On peut donc affirmer que l’association de la théorie des ondulations en optique et d’un univers régi par le groupe de Galilée est en contradiction avec l’expérience. D’autres phénomènes que la propagation de la lumière ont été utilisés pour essayer de mettre en évidence le mouvement d’ensemble d’un système par des expériences intérieures au système. Les phénomènes électromagnétiques autres que ceux de l’optique, qui en constituent une branche particulière, conduisent à des résultats analogues qu’on discuterait comme nous l’avons fait pour l’expérience de Michelson et Morley.

⁂

Pour expliquer le résultat négatif de celle-ci, Lorentz et Fitz-Gérald ont proposé d’admettre, ce qui est en contradiction avec les notions d’espace et de temps qu’exige la mécanique, que la plate-forme en mouvement parait, aux observateurs qui la voient passer avec la vitesse v, se contracter suivant la direction du mouvement dans le rapport $\scriptstyle {\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{\mathrm {V} ^{2}}}}}$, de sorte qu’elle leur semble changer de forme lorsqu’on la fait tourner de 90° pour passer de la première position à la seconde. Dans le raisonnement qui nous a conduits à prévoir un changement d’aspect des franges par suite de cette rotation, nous avons désigné par ON et OM les distances de la lame aux deux miroirs et ces distances ont été supposées invariables pendant la rotation. Si on suppose qu’elles puissent changer et devenir respectivement ON' et OM' on a, pour la seconde position

$\scriptstyle {\frac {t'_{2}}{t'_{1}}}={\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{\mathrm {V} ^{2}}}}}\times {\frac {\mathrm {ON} '}{\mathrm {OM} '}}$

et l’hypothèse de Lorentz conduit aux relations suivantes : la distance OM, primitivement perpendiculaire à la direction du mouvement, doit se contracter pendant la rotation et devenir

$\scriptstyle \mathrm {OM} '=\mathrm {OM} {\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{\mathrm {V} ^{2}}}}}$.

Inversement la distance ON, primitivement parallèle à la direction du mouvement doit, pendant la rotation, se dilater dans le même rapport et devenir

$\scriptstyle \mathrm {ON} '={\frac {\mathrm {ON} }{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{\mathrm {V} ^{2}}}}}}$

d’où par division

$\scriptstyle \mathrm {\frac {ON'}{OM'}} ={\frac {1}{1-{\frac {v^{2}}{\mathrm {V} ^{2}}}}}\times \mathrm {\frac {ON}{OM}}$

et

$\scriptstyle {\frac {t'_{2}}{t'_{1}}}=\mathrm {\frac {ON}{OM}} \times {\frac {1}{1-{\sqrt {\frac {v^{2}}{\mathrm {V} ^{2}}}}}}={\frac {t_{2}}{t_{1}}}$

de sorte que l’égalité de t₁ et t₂ entraîne l’égalité de t'₁ et t'₂. L’aspect des franges, conformément à l’expérience, ne doit pas changer pendant la rotation. On peut montrer que cette même hypothèse de la contraction suffit à expliquer le résultat négatif des autres expériences électromagnétiques. Voyons nettement comment cette hypothèse est en contradiction avec l’univers de la mécanique.

Elle exige que tous les corps solides changent de forme pour des observateurs qui les voient passer avec la vitesse v quand leur orientation change. Au contraire, pour des observateurs liés à ces objets, la forme doit rester invariable puisque les règles dont ils pourraient se servir pour mesurer les dimensions étant liées au corps à mesurer devraient, pour les premiers observateurs, subir la même contraction. Il en résulte que la forme d’un solide devra être différente pour des observateurs qui lui sont liés et pour d’autres en mouvement par rapport à lui. Ceci est en contradiction avec la remarque faite plus haut à propos de l’espace ordinaire.

Le raisonnement que nous avons fait sur l’expérience optique en nous plaçant au point de vue d’observateurs qui voient passer la plate-forme, pourra être fait, naturellement, par des observateurs liés à celle-ci, s’ils se considèrent comme en mouvement avec la vitesse v par rapport au milieu qui transmet la lumière ou les actions électromagnétiques, et s’ils pensent tirer de l’expérience un moyen de mettre ce mouvement en évidence. C’est à ce point de vue qu’on s’est placé tout d’abord. Le résultat négatif d’une première expérience pouvait signifier qu’à ce moment particulier la Terre se trouvait, par hasard, immobile dans l’éther ; mais alors six mois plus tard, elle aurait dû se mouvoir par rapport au milieu à raison de 60 kilomètres par seconde et cependant à ce moment, l’expérience restait toujours négative. L’hypothèse de la contraction, destinée à expliquer ce résultat, fut faite d’abord sous cette forme qu’un corps en mouvement par rapport à l’éther se contracte, dans la direction de sa vitesse, dans le rapport $\scriptstyle {\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{\mathrm {V} ^{2}}}}}$.

Cet énoncé a, selon M. Einstein, l’inconvénient de faire intervenir, avec l’idée d’éther, celle d’un système de référence particulier qui serait immobile par rapport à lui, alors que l’expérience au contraire nous montre simplement que rien ne différencie les divers systèmes de référence, en mouvement les uns par rapport aux autres, qui sont liés à la Terre dans ses positions successives sur l’orbite. M. Einstein a traduit de façon immédiate et simple les faits expérimentaux en énonçant, sous sa forme générale le principe de relativité que j’ai donné au début. En se plaçant au point de vue particulier des phénomènes optiques, on peut dire : si divers groupes d’observateurs sont en mouvement les uns par rapport aux autres, les choses se passent de la même façon pour tous ; chacun d’eux peut se considérer comme immobile par rapport au milieu qui transmet la lumière et tout se passe pour lui comme si la lumière se propageait avec la même vitesse dans toutes les directions. Pour qu’il puisse en être ainsi, le raisonnement qui précède nous montre qu’un corps ne doit pas avoir la même forme pour des observateurs qui lui sont liés et pour d’autres qui le voient passer, et qu’il doit paraître à ces derniers contracté, dans la direction de sa vitesse, dans le rapport de $\scriptstyle {\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{\mathrm {V} ^{2}}}}}$.

Soient O les observateurs liés à la Terre dans sa première position, O' ceux qui font six mois plus tard l’expérience négative de Michelson et Morley. Au point de vue de M. Einstein, ces derniers observateurs O' feront sur cette expérience le raisonnement I, et les observateurs O, qui feront le raisonnement II, devront conclure à la contraction de Lorentz pour le système en mouvement par rapport à eux sur lequel l’expérience est faite.

Cette contraction de Lorentz, incompatible avec les conceptions habituelles de l’espace et du temps, s’accompagne d’autres divergences analogues, d’égale importance, et que nous allons envisager successivement. Ayant d’y arriver, nous pouvons montrer d’une autre manière comment les faits expérimentaux exigent un remaniement du groupe de Galilée, de l’espace et du temps qui lui correspondent. Ces faits conduisent à admettre que les lois des phénomènes physiques sont les mêmes pour divers groupes d’observateurs en mouvement les uns par rapport aux autres, et par suite que les équations qui traduisent ces lois doivent se présenter sous la même forme pour tous ces groupes. Quand un même phénomène est examiné simultanément, comme nous venons de le faire pour l’expérience de Michelson et Morley, par deux groupes d’observateurs O et O', les mesures des diverses grandeurs, distance dans l’espace, intervalles dans le temps, grandeurs mécaniques, électro-magnétiques, optiques, etc., faites par les observateurs O doivent s’exprimer en fonction des mesures faites par les observateurs O' et des paramètres qui déterminent le mouvement relatif des deux groupes, de manière que ces expressions substituées dans les équations exprimant les lois telles qu’elles se présentent pour les observateurs O, conservent à celles-ci leur forme en fonction des mesures faites par les observateurs O'. Les transformations qui permettent de passer d’un système à l’autre doivent donc être telles qu’elles laissent invariante la forme des lois de la physique, comme la transformation du groupe de Galilée et les transformations connexes de la masse et de la force laissaient invariantes les équations de la mécanique. Or nous connaissons, avec un haut degré d’exactitude, les lois qui régissent les phénomènes électro-magnétiques. Ces lois sont exprimées par les équations de Maxwell et de Hertz et conduisent, quand on les applique à la théorie de la lumière, à une propagation de celle-ci conforme entièrement à la théorie des ondulations. L’équation de propagation fait intervenir un coefficient constant, la vitesse V commune à toutes les directions et si cette équation doit être vérifiée, comme l’affirme le principe de relativité, par tous les groupes d’observateurs, ceux-ci, à condition de faire un choix convenable d’unités, verront tous la lumière se propager avec une même vitesse V dans toutes les directions.

De plus, il est remarquable, comme l’a découvert Lorentz, que les équations de l’électromagnétisme admettent, effectivement, un groupe de transformations qui conserve leur forme et ce groupe, pour ce qui concerne les transformations de l’espace et du temps, diffère profondément du groupe de Galilée, qui n’en doit représenter qu’une première approximation étant donné que les expériences de mécanique ne sont susceptibles que d’une précision bien inférieure à celle des expériences d’électromagnétisme ou d’optique. Autrement dit, les expériences de mécanique sont trop peu précises pour nous permettre d’affirmer que les lois du mouvement de la matière admettent, en conservant leur forme, le groupe de Galilée plutôt que le nouveau groupe découvert par Lorentz. Au contraire, les expériences d’électromagnétisme et d’optique semblent être aujourd’hui suffisamment précises pour justifier entièrement la théorie de Maxwell et pour éliminer, en toute certitude, le groupe de Galilée.

Cette découverte du groupe de Lorentz est venue montrer après coup que les équations de l’électromagnétisme telles que les avaient établies antérieurement Maxwell, Hertz et Lorentz, sans aucune idée préconçue, contenaient précisément l’explication du résultat négatif des expériences nouvelles.

Pour étudier la partie du groupe de Lorentz qui correspond aux transformations de l’espace et du temps, il suffit d’admettre comme conséquence des faits expérimentaux et du principe de relativité qui les traduit, que la lumière se propage, pour tous les groupes d’observateurs, avec une même vitesse V, dans toutes les directions. Nous en avons déjà déduit la nécessité de la contraction de Lorentz, c’est-à-dire le changement de la forme d’un corps avec le mouvement des observateurs. Pour préciser ce changement nous pouvons donner du groupe de Lorentz une définition analogue à celle du groupe de la géométrie, qui est assujetti à conserver sa forme à l’expression de la distance de deux points. Comme l’espace et le temps interviennent ici simultanément c’est sur des événements qu’il nous faut raisonner.

Prenons, comme premier événement, l’émission d’un signal lumineux, notée, au point de vue de sa situation dans l’espace et dans le temps, x₀, y₀, z₀, t₀ par les observateurs O et x'₀, y'₀, z'₀, t'₀ par d’autres observateurs O', en mouvement uniforme par rapport aux premiers. Le second événement sera l’arrivée de ce signal lumineux à un appareil de réception quelconque : il sera noté respectivement x, y, z, t, et x', y', z', t' par les groupes d’observateurs O et O'. Pour les observateurs O, la distance parcourue par la lumière, a pour valeur :

$\scriptstyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}$

comme cette distance est parcourue pendant le temps t - t₀ par la lumière et que celle-ci, pour des observateurs quelconques, se déplace avec la vitesse V dans toutes les directions, on doit avoir, pour le couple considéré d’événements :

$\scriptstyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}-\mathrm {V} ^{2}(t-t_{0})^{2}=0$

La lumière se propageant aussi avec la vitesse V dans toutes les directions pour les observateurs O', on doit avoir en même temps :

$\scriptstyle (x'-x'_{0})^{2}+(y'-y'_{0})^{2}+(z'-z'_{0})^{2}-\mathrm {V} ^{2}(t'-t'_{0})^{2}=0$

Pour qu’une valeur nulle de la première expression entraîne nécessairement une valeur nulle de la seconde, il faut que les formules de transformation, qui permettent d’exprimer les composantes de la distance dans l’espace et l’intervalle dans le temps de deux événements pour les observateurs O, en fonction des mêmes éléments mesurés par les observateurs O', possèdent la propriété de laisser invariante l’expression :

$\scriptstyle \mathrm {R} =(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}-\mathrm {V} ^{2}(t-t_{0})^{2}=d^{2}-\mathrm {V} ^{2}(t-t_{0})^{2}$(1)

x₀, y₀, z₀, t₀, x, y, z, t, étant deux événements, quelconques. Cette quantité R, qui a la même valeur pour tous les groupes d’observateurs, joue dans l’Univers de Minkowski un rôle analogue à celui de la distance de deux points en géométrie. Le groupe de Lorentz est déterminé par la condition d’invariance de cette quantité.

Dans le cas particulier où les deux systèmes d’axes ont même orientation et où leur mouvement relatif a lieu dans la direction des x, avec la vitesse v, la transformation de l’espace et du temps est déterminée par les équations suivantes, où β représente le rapport v/V, de la vitesse du mouvement relatif à la vitesse de la lumière :

$\scriptstyle x-x_{0}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}[((x'-x'_{0})^{2})+v(t'-t'_{0})]$
$\scriptstyle y-y_{0}=y'-y'_{0}$
$\scriptstyle z-z_{0}=z'-z'_{0}$
$\scriptstyle t-t_{0}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\left[t'-t'_{0}-{\frac {\beta }{\mathrm {V} }}(x'-x'_{0})\right]$

Dans le cas particulier où l’on suppose que le premier événement est choisi simultanément comme origine par les deux groupes d’observateurs, ces équations deviennent simplement

$\scriptstyle x={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}(x'+vt')$
$\scriptstyle y=y'$
$\scriptstyle z=z'$
$\scriptstyle t={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\left(t'-{\frac {\beta }{\mathrm {V} }}x'\right)$.

Remarquons d’ailleurs que ce groupe se confondrait avec le groupe de Galilée si l’on y supposait infinie la vitesse de propagation V, puisque β deviendrait nul pour une vitesse v quelconque. Comme la vitesse de la lumière V est effectivement très grande par rapport aux vitesses v observables expérimentalement (au maximum 60 kilomètres par seconde), β est toujours très petit et, par suite, le groupe de Galilée est, pour le groupe de Lorentz, une première approximation, largement suffisante d’ordinaire, sauf pour des expériences extraordinairement délicates comme celles de Michelson et Morley.

Sur ces équations on retrouve immédiatement la contraction de Lorentz sous une forme précise. Supposons qu’un objet soit immobile par rapport aux observateurs O, et que x₀, y₀, z₀, x, y, z soient, pour ces observateurs, les coordonnées de deux points A et B de cet objet. Pour étudier la forme de cet objet qui sera en mouvement par rapport à eux, les observateurs O' devront considérer des positions simultanées des divers points de l’objet, en particulier deux positions simultanées des points matériels A et B, c’est-à-dire les deux événements simultanés constitués par la présence de ces points matériels à un même instant noté par eux t' = t'₀. La distance des points A et B sera pour eux la distance dans l’espace de ces deux événements et aura pour composantes les expressions qu’on obtient, en faisant dans les équations qui précèdent,

$\scriptstyle t'-t'_{0}=0$

d’où

$\scriptstyle x'-x'_{0}=(x-x0){\sqrt {1-\beta ^{2}}}$
$\scriptstyle y'-y'_{0}=y-y_{0}$
$\scriptstyle z'-z'_{0}=z-z_{0}$,

l’objet aura donc les mêmes dimensions pour les deux groupes d’observateurs dans les directions des y et des z perpendiculaires au mouvement ; il sera au contraire plus court dans la direction du mouvement pour les observateurs O', qui le voient passer, que pour les observateurs O, pour lesquels il est immobile. Cette contraction de Lorentz a lieu dans le rapport $\scriptstyle {\sqrt {1-\beta ^{2}}}$.

Il est d’ailleurs remarquable que cette contraction est réciproque, puisqu’au point de vue du principe de relativité rien ne différencie les observateurs O des observateurs O', un objet fixe par rapport aux observateurs O paraissant contracté aux observateurs O'. Si par exemple les deux groupes tiennent chacun une règle et si ces règles leur paraissent égales au passage quand elles sont tenues perpendiculairement à la direction du mouvement, au contraire, quand les règles seront tenues parallèles à la direction du mouvement relatif, chacun des groupes verra, au passage, la règle de l’autre plus courte que la sienne.

Pour comprendre qu’il en puisse être ainsi, il faut porter notre attention sur un second aspect paradoxal de la transformation de Lorentz, sur le fait que la simultanéité n’a plus qu’un sens relatif, contrairement à l’hypothèse fondamentale du groupe de Galilée ; deux événements simultanés pour l’un des groupes d’observateurs ne le sont pas en général pour l’autre à moins que leur coïncidence dans le temps ne s’accompagne en même temps d’une coïncidence dans l’espace. En effet, la dernière des formules de transformation nous donne pour deux événements simultanés au point de vue des observateurs O', c’est-à-dire pour $\scriptstyle t'-t'_{0}=0$ :

$\scriptstyle t-t_{0}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\times {\frac {\beta }{\mathrm {V} }}(x'_{0}-x')$.

Les deux événements ne sont donc pas simultanés pour deux observateurs O, en même temps que pour O', à moins que x' ne soit égal à x'₀.

Avant de voir sur un exemple concret la nécessité de cette conséquence, nous comprenons que, pour les observateurs O', la longueur de la règle que portent les observateurs O est la distance entre deux positions simultanées au sens de O' des extrémités de cette règle ; tandis que la longueur de la règle O' mesurée par les observateurs O est la distance entre deux positions des extrémités de cette règle simultanées au sens de O. Les deux définitions de la simultanéité ne coïncidant pas, nous comprenons que la règle tenue par les observateurs O puisse être, pour eux, plus longue que celle des autres et plus courte au contraire pour ceux-ci.

Pour comprendre comment le principe de relativité, lorsqu’il affirme que la lumière se propage avec la même vitesse dans toutes les directions pour tous les groupes d’observateurs en mouvement uniforme de translation, impose un remaniement de la notion de simultanéité et ne laisse à celle-ci qu’un sens relatif, prenons l’exemple suivant :

Imaginons qu’une étincelle éclate dans un appareil immobile par rapport aux observateurs O' et prenons cet événement pour origine dans les deux systèmes O et O'. Pour les observateurs O, l’onde lumineuse émise par l’étincelle se trouvera, au bout d’une seconde, sur une sphère de rayon V et centrée sur le point où se trouvait l’appareil, pour ces observateurs, au moment de l’émission. Par suite de son mouvement, cet appareil est venu à l’instant 1^s pour les observateurs O en un point O' situé à une distance OO' du centre de l’onde égale à v. Si des appareils de réception sont situés en M et en N, les arrivées de l’onde à ces deux appareils seront pour les observateurs O des événements simultanés. Pour les observateurs O', par rapport à qui l’appareil d’émission est fixe et pour qui la lumière se propage aussi avec la même vitesse dans toutes les directions, la lumière aura dû mettre moins de temps pour arriver au récepteur N qu’au récepteur M, c’est-à-dire que ces deux arrivées simultanées pour les observateurs O ne le seront pas pour les observateurs O'.

Ce caractère relatif de la simultanéité rétablit entre l’espace et le temps la symétrie qui n’existe pas dans les conceptions habituelles. Nous avons vu qu’au point de vue du groupe de Galilée, la distance dans l’espace de deux événements n’a qu’un caractère relatif et varie avec le système de référence, tandis que leur intervalle dans le temps a un caractère absolu. Au contraire, dans la conception compatible avec le groupe de Lorentz, le changement du système de référence correspond à la fois à une modification de la distance dans l’espace et de l’intervalle dans le temps des deux mêmes événements.

L’ordre de succession peut être renversé pour deux événements donnés par un changement convenable du mouvement des gens qui les observent. Par exemple, dans le cas précédent, considérons un troisième groupe d’observateurs O" en mouvement par rapport aux observateurs O, en sens opposé du mouvement de O'. Pour eux, l’onde lumineuse émise est centrée sur un point fixe par rapport à eux, puisque pour eux aussi la lumière se propage avec la même vitesse dans toutes les directions, et ce point se déplace à partir de l’instant d’émission, vers la gauche du point O ; de sorte que pour les observateurs O" l’arrivée de la lumière au récepteur M est antérieure à l’arrivée au récepteur N ; tandis qu’elle est postérieure pour les observateurs O' et simultanée pour les observateurs O.

Dans les raisonnements qui précèdent, la simultanéité pour un groupe d’observateurs entre des événements qui se passent en des points différents, est définie au moyen d’échanges de signaux lumineux. On peut se demander s’il n’y aurait pas un autre moyen de définir la simultanéité, un moyen, par exemple, donnant des indications conformes à l’hypothèse du temps absolu, tel que le fourniraient des signaux échangés par l’intermédiaire du solide parfait que conçoit la mécanique rationnelle, d’un corps qui pourrait être mis en mouvement simultanément en tous ses points. On pourrait, par là, échapper aux conclusions paradoxales qui précèdent, mais cette échappatoire serait en contradiction avec le principe de relativité, puisque, comme il est facile de s’en convaincre, la comparaison des mesures de temps fournies par les signaux optiques et par les signaux instantanés permettrait de mettre en évidence expérimentalement le mouvement d’un système par des expériences intérieures au système. En particulier, les lois des phénomènes électro-magnétiques ne seraient pas les mêmes pour différents groupes d’observateurs en mouvement les uns par rapport aux autres, si l’on pouvait avoir une mesure du temps qui ne fût pas d’accord avec celle qu’on déduit de ces mêmes phénomènes. En effet, ces lois ne conservent leur forme que pour les transformations du groupe de Lorentz. Il est donc nécessaire, au point de vue du principe de relativité, que tous les procédés mécaniques, électriques, optiques, chimiques, biologiques employés pour la mesure de la comparaison des temps conduisent à des résultats toujours concordants, ceci dans la mesure où l’on considère le principe de relativité comme devant s’étendre aux phénomènes de ces catégories.

Remarquons, d’ailleurs, pour calmer certaines inquiétudes, que le renversement de l’ordre de succession dans le temps n’est pas possible pour tous les couples d’événements, et ne peut se produire que pour la catégorie particulière de couples caractérisés par la condition que la distance dans l’espace des deux événements soit supérieure au chemin parcouru par la lumière pendant leur intervalle dans le temps. Cette condition est évidemment réalisée pour les arrivées de lumière en M et en N dans l’expérience précédente, puisque pour les observateurs O, la distance dans l’espace des deux événements est 2V et que leur intervalle dans le temps est nul. Il est facile de voir que si cette condition est remplie pour un groupe d’observateurs, elle l’est en même temps pour tous les autres. En effet, si d est la distance dans l’espace des deux événements et t - t₀, leur intervalle dans le temps pour un groupe particulier d’observateurs, cette condition peut s’écrire :

$\scriptstyle d^{2}>\mathrm {V} ^{2}(t-t_{0})^{2}$

d’où il résulte que la quantité R, d’après l’équation (1), est positive, et comme cette quantité est invariante, elle conserve sa valeur et son signe pour tous les groupes d’observateurs, et la condition est par suite remplie pour eux tous.

Pour montrer que cette condition est nécessaire, remarquons que si l’ordre de succession de deux événements peut être renversé, quand on passe d’un système de référence à un autre, il y a, certainement, un système de référence par rapport auquel les deux événements sont simultanés (les observateurs O de l’expérience précédente) et, pour celui-ci, la quantité R se réduit au carré de la distance, qui est une quantité essentiellement positive. Pour un couple d’événements de ce genre, on a :

$\scriptstyle d^{2}=\mathrm {R} +\mathrm {V} ^{2}(t-t_{0})^{2}$,

comme l’invariant R est le même pour tous les groupes d’observateurs, il résulte de là que la distance dans l’espace de deux événements de ce genre est la plus petite possible pour les observateurs qui voient ces événements simultanés. C’est précisément là l’énoncé le plus profond de la contraction de Lorentz. La longueur d’une règle étant la distance dans l’espace de deux positions simultanées des extrémités de cette règle, par rapport à certains observateurs qui la voient passer, cette distance est plus courte pour ceux-ci que pour des observateurs liés à la règle pour qui les deux événements ne sont pas simultanés.

C’est en admettant que deux événements, dont l’ordre de succession peut être renversé, ne peuvent être liés par une causalité de nature quelconque que j’ai été amené à conclure que la causalité ne pouvait se propager avec une vitesse plus grande que la lumière. Si un mode quelconque de causalité ne satisfaisait pas à cette condition, il mettrait en défaut le principe de relativité et permettrait une comparaison des temps pour laquelle la lumière ne se propagerait plus de la même façon par rapport à tous les groupes d’observateurs. On pourrait ainsi mettre en évidence, par des expériences intérieures à un corps, le mouvement de celui-ci par rapport au milieu qui transmet la lumière. Nous pouvons affirmer que de tous les modes d’action actuellement connus, aucun ne contredit à cette condition. L’expérience nous montre qu’aucun messager ni qu’aucun signal ne se déplace par rapport à un système quelconque avec une vitesse supérieure à celle de la lumière. Il est remarquable, en particulier, que les particules β, émises par les corps radioactifs, ont des vitesses que l’expérience a permis de mesurer et qui toutes, quoique s’approchant beaucoup de celle de la lumière, jusqu’à en atteindre les 99 centièmes, lui restent nettement inférieures.

Remarquons aussi que le renversement de l’ordre de succession ne se produira jamais pour deux événements qui se succèdent dans la vie d’une même portion de matière, dans le cerveau d’un philosophe par exemple, cet ordre restant le même quel que soit le mouvement des observateurs. En effet, pour des observateurs liés à cette matière ou qui la rencontrent de manière à assister successivement aux deux événements si le mouvement de cette matière n’a pas été uniforme dans l’intervalle, les deux événements coïncident dans l’espace, d² est nulle, et par suite R négatif. Comme cette quantité est invariante, l’intervalle dans le temps ne peut s’annuler pour personne, puisque la quantité négative R devrait alors être égale au carré de la distance. A fortiori, si on ne peut atteindre la simultanéité, on peut encore moins obtenir le renversement.

Les deux événements qui précèdent appartiennent à une nouvelle catégorie de couples, ceux pour lesquels l’invariant R est négatif, c’est-à-dire les couples tels que leur distance dans l’espace est inférieure au chemin parcouru par la lumière pendant leur intervalle dans le temps. Les événements qui constituent un tel couple peuvent effectivement agir l’un sur l’autre, puisque au moins par l’intermédiaire d’ondes lumineuses, les conditions dans lesquelles se produit le second événement peuvent être modifiées par le fait que le premier s’est produit avant lui : c’est le principe de la télégraphie. En particulier, si les deux événements se succèdent dans une même portion de matière, le second est nécessairement conditionné par le premier et il serait absurde que leur ordre de succession puisse être renversé pour des observateurs en mouvement convenablement choisi.

La symétrie entre les propriétés de l’espace et du temps est complétée par une propriété de ces derniers couples d’événements qui est, pour le temps, l’analogue de ce qu’est pour l’espace la contraction de Lorentz. Appelons temps propre pour une portion de matière, l’intervalle de temps pour des observateurs qui lui sont liés entre deux événements qui s’y succèdent, qui coïncident dans l’espace pour ces observateurs. Pour tout autre groupe d’observateurs du mouvement, pour tous systèmes de référence par rapport auxquels la portion de matière se meut, l’intervalle de temps entre ces événements sera plus grand que le temps propre, de même que la distance dans l’espace de deux événements, dont le couple appartient à la première catégorie, est plus grande pour des observateurs quelconques que pour ceux à qui les événements paraissent simultanés. En effet, pour un couple de la seconde catégorie, la quantité R est négative et l’on a

$\scriptstyle \mathrm {V} ^{2}(t-t_{0})^{2}=d^{2}-\mathrm {R}$

R étant invariant, t - t₀ sera minimum pour les observateurs par rapport auxquels d sera nulle, c’est-à-dire par rapport auxquels les deux événements coïncident dans l’espace. Cette valeur minimum mesurera, pour les deux événements, l’intervalle de temps propre à la portion de matière où ils se succèdent, au système de référence pour lequel ils coïncident dans l’espace. Pour tous les autres systèmes de référence l’intervalle de temps sera plus grand et ceci montre encore qu’aucun renversement dans l’ordre de succession n’est possible.

Cette existence du temps propre m’a permis de conclure que si un système matériel se meut avec une vitesse suffisamment grande, suivant un cycle fermé, par rapport à des observateurs O en mouvement uniforme, le temps propre qui se sera écoulé pour lui entre le départ et le retour sera moindre que la mesure de même intervalle, faite par les observateurs O entre son départ et son retour. Cette conclusion est exacte dans la mesure où nous pouvons affirmer que les lois des phénomènes naturels sont soumises à la condition de rester invariantes pour les transformations du groupe de Lorentz. Les efforts expérimentaux les plus puissants accomplis jusqu’ici viennent témoigner dans ce sens. Peut-être des expériences nouvelles nous obligeront-elles à retoucher le groupe de Lorentz comme nous venons de retoucher le groupe de Galilée ; peut-être la recherche d’une synthèse comprenant les phénomènes de gravitation rebelles jusqu’ici à la théorie électro-magnétique nous permettra-t-elle de compléter notre connaissance de l’espace et du temps, mais il semble bien que les modifications, si elles se produisent, ne seront pas dans le sens d’un retour vers l’espace et le temps absolus.

De même qu’en géométrie et en mécanique on a pu constituer, pour traduire de manière intrinsèque et complète l’invariance des lois par rapport aux systèmes de référence, un langage qui affirme l’existence d’une réalité nouvelle et plus haute, le principe général de relativité nous conduit à chercher une forme d’énoncé des lois de l’univers faisant intervenir uniquement des grandeurs invariantes, des grandeurs mesurées de la même manière par tous les groupes d’observateurs.

Parmi les grandeurs antérieurement conçues, très peu satisfont à cette condition : seules la charge électrique, la pression, l’entropie et l’action (produit d’une énergie par un temps) peuvent constituer des éléments connus d’un langage d’Univers. Comme en mécanique se sont introduites les notions vectorielles, telles que celles de la force et du couple, les physiciens devront introduire des éléments invariants nouveaux qui permettront de donner à leurs lois la forme générale et simple que permet l’existence du principe de relativité. Un élément de ce genre, d’importance analogue à celle de la distance en géométrie, c’est la quantité R, caractéristique de chaque couple d’événements et dont le signe détermine si ces événements peuvent ou non influer l’un sur l’autre, s’ils peuvent être amenés à coïncider dans l’espace ou dans le temps par un choix convenable du système de référence.

1. Voir, pour le développement de ces idées, la conférence faite par M. Langevin au Congrès de Bologne et publiée dans Scientia, 1911, XIX-3. Voir aussi l’exposé résumé de cette conférence paru dans le numéro de juillet 1911 de la Revue de Mélaphysique et de Morale.